LÓGICA

Proposição Lógica > Sentido Completo > Criação de Significado

PROPOSIÇÕES LÓGICAS PRECISAM TER VERBO E PRECISAM PODER SER AVALIADAS COMO VERDAEIRAS OU FALSAS

Exemplo:

"Mente sã em corpo são" - não tem verbo na frase, logo não tem sentido completo, assim do ponto de vista lógico, não é uma proposição lógica!

* SENTENÇAS IMPERATIVAS, SENTENÇAS INTERROGATIVAS e FRASES EXCLAMATIVAS nunca são proposições lógicas, pois sentenças imperativas tem ideia de ser uma ordem, um conselho ou um pedido, e perguntas ou exclamações, sendo assim, ainda que todas elas tenham Sentido Completo (há verbo na frase), nenhuma delas pode ser avaliada como verdadeiras ou falsas, logo nunca são proposições lógicas.

Exemplo: "Estude bastante" - tem sentido completo, mas não é uma proposição lógica, pois não há como avaliar entre verdadeira ou falsa. 

Valor Lógico de uma Proposição: Verdadeiro ou Falso

Não Contradição: Nada Pode Ser Verdadeiro e Falso ao Mesmo Tempo

LÓGICA EM CONJUNTOS: o sinal de "pertence" só é utilizado com elementos dentro de conjuntos, enquanto o sinal de "está contido" só é utilizado para subconjuntos dentro de conjuntos

CONECTIVOS: juntam sentidos lógicos diferentes

Exemplos:

- " A palavra general tem três sílabas e o almoço foi bom". "e" é o conectivo

- "Se um triângulo tem três pontas, então dois é par". Há só um único conectivo: "se... então"

- "Ou trabalho ou acordo tarde". Há só um único conectivo: "ou... ou"

Conectivos Equivalentes: "Ou" = "Se... Então"  //  "Mas" = "E"  //  Todo = "Se... Então"

Conectivos de Oposição: "Ou" vs "E"  //  "E" vs "Se... Então"

* O Conectivo "Ou... ou" só tem valor lógico verdadeiro se uma das duas proposições forem falsas. Se as duas proposições forem verdadeiras ou se as duas forem falsas, o valor lógico da proposição é falso!

Exercício: Se o valor lógico da proposição "Ou viajo ou trabalho" é verdadeiro, e o valor lógico da proposição "Não viajo" é falso, então qual é o valor lógico da proposição "Viajo e trabalho"?

- Para a proposição com conectivo "ou... ou" ter valor lógico verdadeiro, um dos dois argumentos dentro desta proposição é necessariamente falso.

- Se o valor lógico da proposição "Não viajo" é falso, então o da proposição "Viajo" é verdadeiro.

- Então, se "Viajo" é verdadeiro, "Trabalho" tem que ser falso.

- Logo, o valor lógico da proposição "Viajo e trabalho" é falso, já que com o conectivo "e", o valor lógico só é verdadeiro quando os dois argumentos dentro da proposição são, ambos, verdadeiros.

* Negação do Conectivo "Ou... ou": (1) com "Ou.. ou": negar uma das partes; (2) com "Se e somente se": mantém as duas ou nega a duas partes; e (3) com "Ou": mantém as duas ou nega a duas partes.

Exemplo: formas de negação da afirmação "Ou é vulnerável ou é necessitada".

1) "Ou é vulnerável ou não é necessitada"

2) "Ou não é vulnerável ou é necessitada"

3) "É vulnerável se e somente se é necessitada"

4) "Não é vulnerável se e somente se não é necessitada"

5) "É vulnerável ou é necessitada"

6) "Não é vulnerável ou não é necessitada"

* Negação do Conectivo "Se e somente se": (1) com "Ou.. ou": mantém as duas ou nega a duas partes; e (2) com "Se e somente se": negar uma das partes. Não dá para negar "se e somente se" com o conectivo "ou".

Exemplo: formas de negação da afirmação "Maria viaja para o Rio de Janeiro se e somente se Fernando viaja para São Paulo".

1) "Ou Maria viaja para o Rio de Janeiro ou Fernando viaja para São Paulo"

2) "Ou Maria não viaja para o Rio de Janeiro ou Fernando não viaja para São Paulo"

3) "Maria não viaja para o Rio de Janeiro se e somente se Fernando viaja para São Paulo"

4) "Maria viaja para o Rio de Janeiro se e somente se Fernando não viaja para São Paulo"

** Usando " <=> " como o símbolo para "se e somente se" (S.S.S), há somente 2 possibilidades para a sua negação lógica usando "se e somente se" ou usando "e":

- Não (A <=> B) = ( Não A <=> B ) = ( Não A e B )

- Não (A <=> B) = ( A <=> Não B ) = ( A e Não B )

CONSTRUÇÕES LÓGICAS:

A e B = A interseção B

A ou B = A união B

OPOSIÇÕES LÓGICAS: 

1) Negações do Conectivo "E":

1.1. troca por "Ou" negando o verbo: Regra Simbólica >> ~ (A ^ B) = ~A v ~B

O oposto de A e B ( ~(A interseção B) ) é igual a "não A" ou "não B" ( ~A união ~B )

* Em caso de uma proposição negativa, uma dupla negação corresponde à proposição original:

~(~A interseção B) = ~~A união ~B = A união ~B

~(~A e B) = ~~A ou ~B = A ou ~B

1.2. troca por "Se... Então" mantendo a 1ª proposição e negando a 2ª proposição: Regra Simbólica >> ~ (A ^ B) = A -> ~B

Observação: em Lógica não existe "igual", a relação é "equivalente"

Exemplo:

Proposição Lógica

- Sou professor e vou ao parque.

Negação

- Não sou professor ou não vou ao parque.

- Se sou professor então não vou ao parque:

2) Negação do Conectivo "Ou":

2.1. troca por "E" negando tudo: Regra Simbólica >> ~ (A v B) = ~A ^ ~B

Exemplo:

Proposição Lógica

- Passei no concurso ou fiquei rico.

Negação

- Não passei no concurso e não fiquei rico.

3) Negação do Conectivo "Se... Então":

3.1. troca por "E" mantendo a 1ª proposição e negando a 2ª proposição: Regra Simbólica >> ~ (A -> B) = A ^ ~B

Exemplo 1:

Proposição Lógica

- Se passo no concurso, então compro um carro.

Negação

- Passo no concurso, e não compro um carro.

Exemplo 2:

Proposição Lógica

- Se Lúcio faz dieta e corre, então emagrece.

Negação

- Lúcio faz dieta e corre, e não emagrece.

Exemplo 3:

Proposição Lógica

- Se viajo, então descanso e gasto dinheiro.

Negação

- Viajo, e não descanso ou não gasto dinheiro.

Observação: o conectivo "Mas" é sinônimo lógico do conectivo "E". Logo: a negação da sentença "João não foi trabalhar, mas saiu com os amigos", será "João foi trabalhar ou não saiu com os amigos" .

EQUIVALÊNCIAS LÓGICAS: é o Oposto da Negação Lógica

4) Equivalência entre Conectivos "Ou" e "Se... Então" ocorre negando a 1ª proposição e mantendo a 2ª proposição: Regras Simbólicas >> (A v B) = ~A -> B  >> (A -> B) = ~A v B

Exemplo 1:

Proposição Lógica

- Carlos é físico, ou sofre com matemática.

Equivalência

- Se Carlos não é físico, então sofre com matemática.

Exemplo 2:

Proposição Lógica

- Se Pedro vai ao cinema, então Maria vai junto.

Equivalência

- Pedro não vai ao cinema, ou Maria vai junto.

5) REGRA CONTRA-POSITIVA - Equivalência de "Se... Então" consigo mesmo ocorre invertendo as proposições e as negando: Regras Simbólicas >> (A -> B) = ~B -> -A

Exemplo 1:

Proposição Lógica

- Se Carlos é físico, então gosta de matemática.

Equivalência

- Se não gosta de matemática, então Carlos não é físico.

Observação: Se não inverter não há equivalência lógica!! No exemplo acima, não há qualquer equivalência lógica entre "Se Carlos é físico, então gosta de matemática" com a sentença "Se Carlos não é físico, então não gosta de matemática".

Exemplo 2:

Proposição Lógica

- Se estudo, então passo e sou feliz.

Equivalências

- Se não passo ou não sou feliz, então não estudo.

- Não estudo, ou passo e sou feliz.

Exemplo 3:

Proposição Lógica

- Se Maria é advogada, então Joana é engenheira ou médica.

Equivalências

- Se Joana não é engenheira e não é médica, então Maria não é advogada.

- Se Joana não é engenheira nem médica, então Maria não é advogada.

Observação: Atenção com a Equivalência da Equivalência, acumulando diferentes regras

Proposição Lógica

- Jorge se mudará ou Maria não será aprovada no concurso.

Equivalências

- Se Jorge não se mudar, então Maria não será aprovada no concurso.

- Se Maria for aprovada no concurso, então Jorge se mudará.

6) Equivalência Lógica de "Todo" é em relação ao Conectivo "Se... Então", mas acrescentando um verbo

Exemplo:

Proposição Lógica

- Todo aluno é bonito.

Equivalências

- Se é aluno, então é bonito

- Se não é bonito, então não é aluno.

* TAUTOLOGIA: são repetições desnecessárias, que não fazem sentido. Se a Proposição Falsa (Inversa à Proposição Original) não tiver um sentido lógico, então se trata de uma tautologia, não tendo sentido lógico. A tautologia em lógica significa uma proposição analítica que permanece sempre verdadeira! Ou seja, são proposições equivalentes se repetindo.

Agregando Regras de Oposição e Equivalência:

Exemplo: As oposições à afirmação "Roberto não é concurseiro e Gabriela é concursada" podem se manifestar de três formas: (1) "Roberto é concurseiro ou Gabriela não é concursada" ("não é" vira "é", "e" vira "ou", e "é" vira "não é"), ou (2) "se Roberto não é concurseiro então Gabriela não é concursada" (se "não é" então "é" vira "não é"), ou (3) "se Gabriela é concursada então Roberto é concurseiro" (se "é" então "não é" vira "é").

QUANTIFICADORES: são de 3 Tipos

- Universal Afirmativo: TODO  >>  Ideia de "Todo Mundo"

- Universal Negativo: NENHUM  >>  Ideia de "Ninguém"

- Particulares Afirmativos ou Negativos: EXISTE... QUE; PELO MENOS UM...; ALGUM...  >>  Ideia de "Alguém"

* EPA: Existe; Pelo menos um; Algum

NEGAÇÃO DOS QUANTIFICADORES:

- TODO: substituído por Existe, Pelo Menos Um, ou Algum + Negação do Verbo

Exemplo:

Proposição Lógica

- Todo homem é mortal.

Negação

- Existe homem que não é mortal.

- Pelo menos um homem não é mortal.

- Algum homem não é mortal.

- NENHUM: substituído por Existe, Pelo Menos Um, ou Algum + Verbo Mantido

Exemplo:

Proposição Lógica

- Nenhum homem é imortal.

Negação

- Existe homem que é imortal.

- Pelo menos um homem é mortal.

- Algum homem é mortal.

- EXISTE; PELO MENOS UM; ALGUM: em Sentença Negativa são substituídos por Nenhum; em Sentença Positiva são substituídos por Todo + Negação do Verbo

Exemplos:

Proposições Lógicas

- Algum carro foi quebrado.

- Algum aluno não foi aprovado.

Negação

- Nenhum carro foi quebrado.

- Todo aluno foi aprovado.

RESUMO

Não (A e B) = Não A ou Não B

Não (A ou B) = Não A e Não B

Não (A e B) = se A então Não B

Não (se A então B) = A e Não B

(A ou B) = se Não A então B

(se A então B) = Não A ou B

(se A então B) = se Não B então Não A

Negação de TODO = EPA + Não

Negação de EPA + Não = TODO

Negação de NENHUM = EPA

Negação de EPA = NENHUM

Negação de Ou...Ou = Ou...ou Não 1 parte

Negação de Ou...Ou = S.S.S (Ou) Sim 2, Não 2

Negação de S.S.S = Ou...ou Sim 2, Não 2

Negação de S.S.S = S.S.S Não 1 parte