PROBABILIDADE

ESPAÇO AMOSTRAL = experimento aleatório, um evento, com o Conjunto de Todos os Resultados Possíveis

* No lançamento de 1 moeda, o espaço amostral é {cara; coroa}, no lançamento de 2 moedas é {(cara; cara), (cara; coroa), (coroa; cara), (coroa; coroa)}

EVENTO = é Todo e Qualquer Subconjunto do Espaço Amostral. O Evento Sempre é uma Parte do Espaço Amostral.

* Eventos com o mesmo resultado no lançamento de 2 moedas são {(cara; cara), (coroa; coroa)}

VARIÁVEL ALEATÓRIA é sempre quantitativa podendo ser DISCRETA (quando os resultados estão num conjunto finito) ou CONTÍNUA (aquelas que podem assumir qualquer valor, não podendo ser contadas)

PROBABILIDADE = Número de EVENTOS / Número de Elementos do ESPAÇO AMOSTRAL

* Em situação de "Pelo Menos 1 Caso", a resolução tem que considerar a Técnica Complementar, que implica que: Probabilidade ("Eu Quero") = 1 - Probabilidade  ("Eu Não Quero").  

PROBABILIDADE COM COMBINAÇÃO: em probabilidade não existe relação com um Arranjo, a relação é Sempre com Combinação

P (X) = C (n; k) / C (N; k) = ( n! / ((n - k)! * k!)) / ( N! / ((N - k)! * k!))

Exemplo 1: Num saco há 5 bolas amarelas e 6 verdes. Qual a probabilidade de que sejam retiradas 2 bolas amarelas? Espaço Amostral é a retirada de 2 em 11 possíveis = (11, 2) = 11! / (9! x 2!) = (11 x 10) / 2 = 11 x 5 = 55. Evento é a retirada de 2 em 5 amarelas possíveis = C (5, 2) = 5! / (3! x 2!) = (5 x 4) / 2 = 5 x 2 = 10. Probabilidade = 10 / 55 = 2 / 11 =  18,18%

Exemplo 2: Entre 6 deputados, 3 do Partido A e 3 do Partido B, um sorteio definirá a escolha de 2 para uma comissão de inquérito. Qual a probabilidade de que ambos sejam do Partido A?

1º opção: para a 1ª escolha há 3 de A em 6 possíveis, logo é igual a 3 / 6; e para a 2ª escolha restam 2 possíveis de A (já que 1 já foi escolhido) em 5 totais possíveis (já que 1 já foi escolhido), logo é igual a 2 / 5. Assim, a probabilidade é (3/6 x 2/5) = 6 / 30 = 1 / 5 = 20%

2ª opção: Espaço amostral é C (6, 2) = 6! / (4! x 2!) = (6 x 5) / 2 = 3 x 5 = 15. Eventos possíveis são C (3, 2) = 3! / (1! x 2!) = 3. Probabilidade = 3 / 15 = 1 / 5 = 20%

Exemplo 3: Entre 6 policiais, entre os quais estão André e Bruno, uma dupla será escolhida para realizar uma patrulha. Qual a probabilidade de André e Bruno formarem esta dupla? Espaço Amostral = C (6, 2) = 6! / (4! x 2!) = (6 x 5) / 2 = 3 x 5 = 15. Evento possível é 1, já que só 1 dupla será escolhida. Probabilidade = 1 / 15 = 6,67%.

PROBABILIDADE COM UNIÃO DE EVENTOS

2 eventos: P (A união B) = P (A) + P (B) - P (A interseção B)

* se forem Mutuamente Excludentes, então não há interseção, logo P (A união B) = P (A) + P (B)

* se forem Independentes, então P (A interseção B) = P (A) x P (B)

3 eventos: P (A união B união C) = P (A) + P (B) + P (C) - P (A interseção B) - P (A interseção C) - P (B interseção C) + P (A interseção B interseção C)

* se forem Mutuamente Excludentes, então não há interseção, logo P (A união B união C) = P (A) + P (B) + P (C)

* se forem Independentes, então P (A interseção B interseção C) = P (A) x P (B) x P (C)

Exemplo 1: Dois eventos A e B tem probabilidades rescpectivas de 40% e 30%, e a probabilidade de A ou B ocorrerem é igual a 50%. Qual a probabilidade de A e B ocorrerem? ("ou" = união, e "e" = interseção). Logo: 50% = 40% + 30% - P (A e B), sendo P (A e B) = 40% + 30% - 50% = 20%. 

Exemplo 2: Uma pesquisa de mercado entre as marcas de sabonete X, Y e Z numa cidade, constatou que todos consumiam pelomenos uma das três marcas. e que 40% consumiam o sabonete X, 40% consumiam o sabonete Y, e 47% consumiam o sabonete Z, além de que 15% consumiam X e Y, 5% consumiam X e Z, e 10% consumiam Y e Z. Quantos por cento consumiam somente 1 das 3 marcas?

P (X ou Y ou Z) = 100%. P (X) = 40%. P (Y) = 40%. P (Z) = 47%. P (X e Y) = 15%. P (X e Z) = 5%. P (Y e Z) = 10%.

Logo: 100% = 40% + 40% 47% - 15% - 5% - 10% + P (X e Y e Z) > 100% = 97% + P (X e Y e Z). Assim: P (X e Y e Z) = 3%.

Se P (X e Y e Z) = 3% e P (X e Y) = 15% então P (X e Y sem Z) = 12%. P (X e Y e Z) = 3% e P (X e Z) = 5% então P (X e Z sem Y) = 2%. P (X e Y e Z) = 3% e P (Y e Z) = 10% então P (Y e Z sem X) = 7%.

Assim: P (X sem Y sem Z) + P (Y sem X sem Z) + P (Z sem X sem Y) = 100% - 3% - 12% - 2% - 7% = 76%

Frequência Relativa ou Empírica = Nº de Observações do Evento / Nº Total de Repetições

- No Limite Tendendo a Infinito, afrequência da Probabilidade Empírica é igual à da Definição Clássica.

EVENTOS COMPLEMENTARES

Evento Complementar = Todo Elemento do Espaço Amostral que Não Pertence ao Evento

Probabilidade Complementar = 100% menos a Probabilidade (Evento)

PROBABILIDADE CONDICIONAL: é a probabilidade de um evento acontecer dado que um outro evento já aconteceu

Exemplo: Entre 200 profissionais de saúde há 90 dentistas, sendo 40 homens e 50 mulheres, e há 110 médicos, sendo 80 homens e 30 mulheres. Qual a probabilidade de uma pessoa deste grupo ser dentista, sabendo que esta pessoa é um homem? O Espaço Amostral passa a ser igual a 120 homens (40 + 80). No grupo há 40 dentistas. Logo: Probabilidae = 40 / 120 = 1 / 3 = 33,33%

P (B | A) = P (A e B) / P (A), onde P (A) é o evento a priori e a P (B) é o evento a posteriori.

* Mutuamente Exclusivos são aqueles eventos que não podem acontecer ao mesmo tempo

Exemplo: Sendo a probabilidade de um evento A igual a 50% e a de um evento B igual a 80%, sabe-se que a probabilidade de A dado B (ou seja: P (A | B)) é igual a 60%. Qual a probabilidade de que A ou B ocorram? A ou B significa A união B

Logo: P (A ou B) = P (A) + P (B) - P (A e B). E P (A | B) = P (A e B) / P (B). Assim 60% = P (A e B) / 80% > P (A e B) = 48%. Portanto: P (A ou B) = 50% + 80% - 48% = 82%

TEOREMA DE BAYES: é a possibilidade de que um evento aconteça com base em um conhecimento relacionado ao evento.

Fórmula de Bayes: P (A | B) = ( P (B | A) x P (A) ) / P (B)

Exemplo: Há três possibilidades de trajeto a ser feito entre casa e trabalho. O trajeto A é usado em 40% das vezes, o trajeto B em 10% e o trajeto C em 50%. De todas as vezes em que o trajetos foram feitos, o chefe foi encontrado no meio do caminho em 20% das vezes no trajeto A, em 30% delas no B, e em 10% no C. Dado que no trajeto feito hoje o chefe foi encontrado, qual a possibilidade de que o trajeto urilizado tenha sido o A? O total de possibilidades de encontrar ao chefe no meio do caminho é de 40% x 20% = 8% no trajeto A, de 10% x 30% = 3% no trajeto B, e de 50% x 10% = 5% no trajeto C. Logo a possibilidade de encontrar ao chefe entre o trajeto de casa ao trabalho é igual a 16% (8% + 3% + 5%). Dado que o chefe foi encontrado (total de possibilidades igual a 16%), a probabilidade de que o trajeto A é o que tenha sido feito é de 8% em 16%, ou seja, é igual a 8% / 16% = 50%.

VARIÂNCIA

VAR (X) = E (X^2) - (E (X))^2, ou seja: é igual à Média dos Quadrados Menos o Quadrado da Média, que é igual a Média dos Quadrados das Diferenças (de cada observação perante a média)

* Uma outra forma de calcular a VARIÂNCIA é fazendo a Média dos Quadrados da Distância de Cada Observação em Relação à Media

Exemplo 1: Resultados 1, 2, 3 e 4. P (1) = 20%. P (2) = 15%. P (3) = 30%. P (4) = 35%.

E (X) = 20% x 1 + 15% x 2 + 30% x 3 + 35% x 4 = 2,8 (é a Média Ponderada)

E (X^2) = 20% x 1^2 + 15% x 2^2 + 30% x 3^2 + 35% x 4^2 = 9,1

VAR (X) = 9,1 - 2,8^2 = 9,1 - 7,84 = 1,26

Exemplo 2: Quatro produtos numa prateleira custavam um deles 30, dois deles 50 e um custava 70. Qual a variância de preço?

E (X) = (30 + 50 + 50 + 70) / 4 = 200/4 = 50

E (X²) = (30² + 50² + 50² + 70²) / 4 = (900 + 2.500 + 2.500 + 4.900) / 4 = 10.800/4 = 2.700

VAR (X) = E (X²) - E (X)² = 2.700 - 50² = 2.700 - 2.500 = 200; ou

VAR (X) = ((30 - 50)² + (50 - 50)² + (50 - 50)² + (70 - 50)²) / 4 = ((-20)² + 0 + 0 + 20²) / 4 = (400 + 400) / 4 = 800/4 = 200

Desvio-Padrão (X) = (200)^(1/2) ~ 14,14 ~ 14

Observação: VAR (k x X) = k^2 x VAR (X) e também VAR (X + k) = VAR (X)

DESVIO-PADRÃO

DP (X) = (VAR (X))^(1/2), ou seja: desvio-padrão é igual à raiz quadrada da variância

* O Desvio-Padrão refere-se à DISPERSÃO das observações

COVARIÂNCIA: é a Correlação Linear entre 2 variáveis

Quando POSITIVA é porque há uma variação proporcional na mesma direção, quando NEGATIVA é porque há uma variação proporcional na direção inversa, e quando NULA é porque as variáveis não se influenciam, isto é não se alteram mutuamente, sendo Mutuamente Exclusivas.

COV (X; Y) = E (X * Y) - (E (X) * E (Y))

Exemplo 1: Dois eventos acontecem em T(1) e T(2). Em T(1) os resultados são X = 2 e Y = 8. Em T(2) os resultados são X = 6 e Y = 14.

Média (E (X x Y)) = (2 x 8 + 6 x 14) / 2 = (16 + 84) / 2 = 100/2 = 50

Média X (E (X)) = (2 + 6) / 2 = 4

Média Y (E (Y)) = (8 + 14) / 2 = 11

COV (X) = 50 - (4 x 11) = 50 - 44 = 6

Exemplo 2: Cálculo com Função de Probabilidade Conjunta

Há dois acontecimentos, X e Y, cujas possibilidades de resultado são: para X os resultados podem dar 2 ou 4, e para Y os resultados podem dar 1 ou 3. As probabilidades combinadas de resultado P (X , Y) são iguais a P (2, 1) = 20%, P (2, 3) = 10%, P (4 , 1) = 40% e P (4 , 3) = 30%. Para este caso:

E (X) = 2 x (20% + 10%) + 4 x (40% + 30%) = 2 x 30% + 4 x 70% = 0,6 + 2,8 = 3,4

E (Y) = 1 x (20% + 40%) + 3 x (10% + 30%) = 1 x 60% + 3 x 40% = 0,6 + 1,2 = 1,8

E (X x Y) = 2 x 1 x 20% + 2 x 3 x 10% + 4 x 1 x 40% + 4 x 3 x 30% = 0,4 + 0,6 + 1,6 + 3,6 = 6,2

COV (XY) = 6,2 - (3,4 x 1,8) = 6,2 - 6,12 = 0,08

COEFICIENTE DE CORRELAÇÃO: é o Grau de Intensidade da relação entre variáveis, VARIANDO SEMPRE ENTRE -1 e +1.

CC = COV (XY) / (DP (X) * DP (Y))

Medidas de Intensidade de Relação: CC <= 20% é MUITO FRACA  // 20% < CC <= 40% é FRACA // 40% < CC <= 70% é MODERADA // 70% < CC <= 90% é FORTE // CC > 90% é MUITO FORTE

Propriedades:

VAR (X + Y) = VAR (X) + VAR (Y) + 2 x COV (XY)

VAR (aX + bY) = a^2 x VAR (X) + b^2 x VAR (Y) + 2ab x COV (XY)

VAR (X - Y) = VAR (X) + VAR (Y) - 2 x COV (XY)

VAR (aX - bY) = a^2 x VAR (X) + b^2 x VAR (Y) - 2ab x COV (XY)

COEFICIENTE DE VARIAÇÃO: é o Dispersão Relativa, ou seja, seria o equivalente a um "Desvio-Padrão Relativo". Mede a # Variabilidade, de forma que quanto menor a  variabilidade, maior é a concentração de resultados, ouseja, Maior é a Previsibilidade, o que quer dizer dentro de uma lógica de Finanças Corporativas que Menor é o Risco.

CV = Desvio-Padrão / Média

VARIÂNCIA RELATIVA

VR (X) = VAR (X) / (Média (X))^2 = CV^2

Exemplo: Há três tipos de caixa, I, II e III. Para a Caixa I, a Média é 50 e o Desvio-Padrão é 15. Para a Caixa II, a Média é 75 e o Desvio-Padrão é 30. E para a Caixa III, a Média é 100 e o Desvio-Padrão é 25.

CV (I) = 15 / 50 = 3 / 10 = 30%. CV (II) = 30 / 75 = 2 / 5 = 40%. CV (III) = 25 / 100 = 25%.

VR (1) = 15^2 / 50^2 = 225 / 2500 = 9%. VR (II) = 30^2 / 75^2 = 900 / 5625 = 16%. CV (III) = 25^2 / 100^2 = 625 / 10000 = 6,25%.

DISTRIBUIÇÕES

1. DISTRIBUIÇÃO DE BERNOULLI: Experimentos Duais, nos quais a resposta é "Sim" ou "Não"

Exemplo:

P (1) = P (Sim) = 60% e P (0) = P (Não) = 40%

Média = E (X) = 1 x 60% + 0 x 40% = 60%

VAR (X) = 0,6 x 0,4 = 0,24

DP (X) = 0,24^(1/2) = 0,4899

2. DISTRIBUIÇÃO BINOMIAL: é uma Amostra da Distrubuição de Bernoulli

Nomenclatura: b (n; p (X))

A Binomial tem 2 Parâmetros: (1) Nº de Elementos da Amostra (n), e (2) Probabilidade de Sucesso (p (X))

* as Distribuições de Bernoulli e Binomial têm as mesmas características, mas não têm os mesmos parâmetros, pois como Bernoulli se refere a Universo Inteiro e Não a Amostra, nela não existe "n" como referência da quantidade de elementos 

VAR b (n; p) = n * p * (1 - p)

Quantidade Específica de Sucessos:

P (X = k) = C (n; k) * (P (X))^k * (1 - P (X))^(n-k)

Exemplo 1: Um jogador tem 80% como percentual de acertos em cobranças de pênaltis. Se ele vai cobrar 5 penalidades, qual a possibilidade de ele acertar apenas 2 cobranças? P (X = 2) = C (5; 2) * 80%^2 * 20%^(5 - 2) = 5" / (3! * 2!) * 0,8^2 * 0,2^3 = (5 * 4)/2 * 0,64 * 0,008 = 10 * 0,64 * 0,008 = 0,64 * 0,08 = 0,0512. Logo, há 5,12% de probabilidade de que ele acerte 2 cobranças em 5, uma possibilidade bem baixa, dado que ele costuma acertar 4 (80% * 5).

Exemplo 2: Numa família, a chance de nascer um bebê menino é de 30% e de menina é 70%. Esta fampília já tem 3 filhos, sendo 2 meninos e 1 menina. Qual era a probabilidade desta configuração familiar? P (Mo = 2) = C (3; 2) * 30%^2 * 70%^(3 - 2) = 3! / (2! * 1!) * 0,3^2 * 0,7 = 3 * 0,09 x 0,7 = 0,189 = 18,9%

Exemplo 3: Numa cidade, a probabilidade de que um morador tenha seguro de carro é de 80%. Escolhendo-se 5 moradores, qual a probabilidade de que 3 deles tenham seguro de carro? P = C (5;3) * 80%^3 * 20%^2 = (5! / 3! * 2!) * 0,8^3 * 0,2^2 = ((5 x 4) / 2) x 51,2% x 4% = 10 x 2,048% = 20,48%.

3. DISTRIBUIÇÃO GEOMÉTRICA: é o número de tentativas até a obtenção de um 1º sucesso numa Distrubuição de Bernoulli

P (X = 3), por exemplo, significa a probsbilidade de obtenção do primeiro sucesso na 3ª tentativa

P (X = k) = p * (1 - p)^(k - 1)

Exemplo: Num cara e coroa, qual a probabilidade da primeira cara sair apenas na 4ª tentativa? P (X = 4) = 50% x 50%^(4 - 1) = 50% x 50%^3 = 50%^4 = 6,25%

CASO DE 1º SUCESSO PELO MENOS ATÉ UMA TENTATIVA   

* "Pelo menos" em "n" tentativas, te dá a certeza de que o resultado aconteceu na "nª" tentativa

P (X >= k) = 1 - p (X < k)

Exemplo 1: Numa moeda viciada, a probabilidade de cara é 20%. Qual a probbilidade de serem necessários pelo menos 2 lançamentos para se obter a primeira cara?

P (X >= 2) = 1 - P (X < 2) = 1 - P (X = 1) = 1 - (p^k * (1 - p)^(k - 1)) = 1 - (20%^1 * 80%^(1 - 1)) = 1 - 20% * 80%^0 = 1 - 20% * 1 = 1 - 20% = 80%

Exemplo 2: Suponha que numa prova a probabilidade de acertar a uma questão "chutando" seja 25%. Numa prova de 100 questões, qual a probabilidade de serem necessários 4 "chutes" até o primeiro acerto?

P (X >= 4) = 1 - P (X < 4) = 1 - P (X = 1)- P (X = 2) - P (X = 3) = 1 - (25% * 75%^0) - (25% * 75%^(2 - 1) - (25% * 75%^(3 - 1)) = 1 - 0,25 - (0,25 x 0,75) - (0,25 x 0,75^2) = 1 - 0,25 - 0,1875 - 0,14 = 0,4225 = 42,25%

Média = E (X) = 1 / p; onde p = probabilidade de sucesso

VAR = VAR (X) = (1 - p) / p^2

Parametrização, ou seja, a Possibilidade de Fracasso = P (Y), sendo Y = 1 - X

P (Y = k) = p * (1 - p)^k

E (Y) = (1 - p) / p

VAR (Y) = (1 - p) / p^2

Exemplo: Um experimento tem chance de acerto = 80%, e # tentativas até o 1º sucesso = 3. Sendo X = # sucessos e Y = # fracassos. Então:

E (X) = 1 / p = 1 / 80% = 1 / 0,8 = 1,25

VAR (X) = (1 - p) / p^2 = 20% / 80%^2 = 0,2 / 0,8^2 = 0,3125

E (Y) = (1 - p) / p = 20% / 80% = 0,25

VAR (Y) = (1 - p) / p^2 = 20% / 80%^2 = 0,2 / 0,8^2 = 0,3125

* Nº de Tentativas de Fracassos = Nº de Tentativas de Sucessos - 1

4. DISTRIBUIÇÃO HIPERGEOMÉTRICA: 

- NÃO HÁ REPOSIÇÃO dos elementos retirados, ou seja, os elementos são DEPENDENTES ENTRE SI.

Determinantes:

- # População Total = N

- # Casos de de Sucesso = S

- # População da Amostra = n

P (X = k) = (C (S; k) x C (N - S; n - k)) / C (N; n)

* Limite Máximo = mínimo (S; n) // Limite Mínimo = máximo (0; n - (N - S))

E (X ) = n * (S / N)

VAR = n * ( S / N ) * (1 – ( S / N )) * ((N – n) / (N – 1))

Exemplo: Suponha que num universo de 10 peças em uma fábrica, 40% costumam ser defeituosas. Neste grupo, qual a probabilidade de se retirar 3 peças e de que 2 delas saiam com defeito?

C (S; k) = C (10 x 40%; 2) = C (4; 2) = 4! / (2! x 2!) = (4 x 3) / 2 = 2 x 3 = 6

C (N - S; n - k) = C (6; 1) = 6! / (5! x 1!) = 6

C (N; n) = C (10; 3) = 10! / (7! x 3!) = (10 x 9 x 8) / (3 x 2) = 5 x 3 x 8 = 120

P (X = 2) = (6 x 6) / 120 = 36 x 120 / 3 / 10 = 30% 

Média = 3 x (4 / 10) = 3 x 0,4 = 1,2

VAR (X) = 3 x 0,4 x 0,6 x ((10 - 3) / (10 - 1)) = 3 x 0,24 x 7/9 = 0,24 x 7/3 = 0,08 x 7 = 0,56

5. DISTRIBUIÇÃO DE POISSON: para um número de elementos tendendo ao infinito, a distribuição se aproximará de uma Distribuição Binomial

Parâmetro (= Lambda): Nº de Sucessos tende a Zero e o Nº de Elementos tende a Infinito. O Parâmetro é um número finito.

E (X) = n * p

VAR (X) = E (X) = Lambda = n * p

P (X = k) = (e^Lambda * Lambda^k) / k!; onde "e" = número neperiano ~ 2,71

Exemplo: Numa indústria farmacêutica, 0,01% dos medicamentos são defeituosos. Numa amostra de 4 mil medicamentos, qual a probabilidade de 1 sair defeituoso? Saiba que e^(-4) = 0,67.

Lambda = n * p = 4.000 x (1 / 0,01%) = 4.000 x (1 / 10.000) = 4 x (1 / 10) = 4/10 = 40%

Para calcular a chance de 1 ser defeituoso > P (X = 1) = (e^(-0,4) x 0,4^1) / 1! = 0,67 x 0,4 = 0,268 = 26,8%

6. DISTRIBUIÇÃO NORMAL: é uma Distribuição Contínua referente ao que normalmente aconteceu

- O COMPORTAMENTO É SIMÉTRICO, ou seja, a Média = Mediana = Moda

Obs: MODA é a observação COM MAIOR FREQUÊNCIA, aquela que aparece com a Maior Quantidade de Repetições dentro da Amostra.

- 2 Parâmetros: Média e Variância

Distribuição:

- 68% = Média + 1 x Desvio-Padrão

- 95% = Média + 2 x Desvio-Padrão

- 99% = Média + 3 x Desvio-Padrão

* A quantidade de Desvios-Padrões aplicados sobre a Média é chamada de "score Z"

Exemplo: Se o resultado de uma prova tem distribuição normal com média igual a 7 e desvio-padrão igual a 1, tendo 1.000 alunos feito a prova, qual a estimativa da quantidade que tirou nota superior a 8?

Pelas informações fornecidas, sabe-se que 68% tiraram mais do que 6 e menos do que 8. Logo, o restante representa 32%, e sendo uma distribuição normal, a parte que tirou menos do que 6 é igual à que tirou mais do que 8, logo a fatia dos que tiraram mais do que 8 equivale a 16% (P (Z > 1) = 16%). Sendo 1 mil alunos, então 160 tiraram mais do que 8.

ERRO = Z * ((p x (1 - p)) / n)^(1/2)

AMPLITUDE = 2 x ERRO = 2*Z * ((p x (1 - p)) / n)^(1/2)

* Z = score Z

Z = ( Obervação X - Média X ) / Desvio-Padrão X 

Exemplo: Com base num levantamento por amostragem aleatória simples de 1.875 professores, soube-se que a probabilidade de um professor engordar é igual a 25%. Sabendo que P(Z < - 2) = 0,025, em que Z representa a distribuição normal padrão, a estimativa intervalar de 95% de confiança do parâmetro populacional possui amplitude igual a quanto?

Z = 2  //  P = 25%  //  N = 1875

Amplitude = 2*Z*((P x (1 - P))/N)^(1/2) = 2*2*((25%x75%)/1.875)^(1/2) = 2*2*(0,1875/1875)^(1/2) = 2*2*(1/10000)^(1/2) = 2 x 2 x(1/100) = 2 x 2 x 1% = 4%

TEOREMA DO LIMITE CENTRAL: Afirma que se a distribuição da população é desconhecida ou assimétrica, ao se retirar amostras suficientemente grandes, então a distribuição amostral das médias se aproximará será aproximadamente Normal.